Задача #167

Цена

Условие

Найти размеры конической воронки, имеющей заданную образующую и наибольший объем.

Решение

Рассмотрим произвольную коническую воронку с образующей . Остальные параметры мы не можем выбирать произвольно. Обозначим — высота воронки, — радиус основания, они связанны следующим соотношением , откуда . Так как объем воронки вычисляется по формуле . Исследуем на экстремум данную функцию.

Найдем производную . Найдем критические точки имею в виду условия не отрицательности проверяем только точку , производная при переходе через нее меняет знак с + на – значит это точка максимума.

Ответ: чтобы иметь максимальный объем коническая воронка должна иметь высоту при заданной образующей .