Задача #176

Цена

Условие

Вычислить двойной интеграл с использование соответствующей замены

,

Решение

Построим схематический чертеж области.

Причем область интегрирования находится между двумя эллипсами .

В данном случае выгодно использовать обобщенные полярные координаты: .

Находим Якобиан преобразования .

Формула перехода к обобщенным полярным координатам имеет вид

Положим , тогда из получаем , учитывая что полярный радиус может принимать только положительные значения , аналогичным образом , превращается в

Из рисунка получаем .

.

Если область задана двумя полупрямыми и линиями определяемыми уравнениями , то двойной интеграл, распространенный на эту область вычисляется по формуле

В нашем случае с учетом симметричности области интегрирования относительно осей координат имеем:

Ответ: