Числовые ряды сходящиеся и расходящиеся.

Определение. Числовым рядом называется выражение , где числа , называемые членами ряда, образуют известную числовую последовательность.

Сокращенно ряд обозначают .

Член , номер которого не фиксирован, называется общим членом ряда.

Сумма первых членов ряда называется частичной суммой.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда , то ряд называется сходящимся, а число – суммой ряда.

Если же или при неограниченном возрастании числа слагаемых частичная сумма не стремится ни к какому пределу, то ряд называется расходящимся..

Необходимый признак сходимости ряда.

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, когда неограниченно возрастает, т.е. .

Подчеркнем, что этот признак не является достаточным, т.е. из стремления к нулю общего члена нельзя еще сделать заключение, что ряд сходится. Но если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

Основные свойства рядов.

Если все члены сходящегося (расходящегося) ряда умножить на одно и то же не нулевое число , то полученный ряд будет сходящимся (расходящимся).

Если сходятся ряды и , то будут сходится и ряд, полученный от почленного сложения или вычитания соответствующих членов этих рядов, т.е. будет сходится ряд .

Если к сходящемуся ряду приписать к началу или отбросить от его начала конечное число членов, то полученный от этого ряд будет сходится.

Геометрический ряд

Ряд , в котором каждый член образуется из предыдущего умножением на одно и то же число, называется геометрическим. Геометрический ряд сходится, если и его сумма . Если , то геометрический ряд расходится.

Теорема сравнения.

Если ряд с положительными членами сравнить с другим рядом с положительными членами сходимость или расходимость которого известна, и если начиная с некоторого номера :

1) , то из сходимости ряда , следует сходимость ряда .

2) , то из того что ряд расходится, следует, что ряд расходится.

На практике более эффективным оказывается следующий

Предельный признак сравнения. Два ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся, если отношение при стремится к конечному и отличному от нуля пределу.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.

Признак Даламбера

Если члены ряда положительны и , то при ряд будет сходится, а при расходиться.

Отметим, что если , то сделать заключение о сходимости или расходимости ряда нельзя. В этом случае требуется дополнительное исследование.

Признак Коши

Если члены ряда положительны и , то при ряд будет сходится, а при расходиться.

При требуется дополнительное исследование.

Интегральный признак Коши

Пусть функция положительна и монотонна при , и пусть для всех имеет место равенство . Тогда числовой ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .

Абсолютная и неабсолютная сходимость

Ряд составленный из положительных и отрицательных членов, называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Знакочередующиеся ряды

Определение. Ряд называется знакочередующимся (или знакопеременным), если его два любых соседних члена имеют противоположные знаки.

Исследование сходимости знакочередующихся рядов проводится на основании теоремы Лейбница.

Теорема Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если: 1) его члены убывают по абсолютной величине и 2) его абсолютная величина общего члена стремится к нулю, когда , т.е. .

погрешность при вычислении суммы знакочередующегося ряда

Для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям, признака Лейбница, ошибка приближенного равенства (т.е. остаток ряда ) будет по абсолютной величине меньше первого отброшенного члена , причем остаток этого ряда имеет знак своего первого члена .