Ряд , члены которого являются функциями от переменной , называется функциональным.

При различных значениях из функционального ряда получаются различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.

Совокупность значений , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее употребительными являются степенные ряды вида или более общего вида .

Областью сходимости всякого степенного ряда является одни интервал числовой оси, симметричный относительно точки для первого ряда или для более общего вида, который может быть закрытым, открытым или полуоткрытым.

Для определения области сходимости функциональных рядов обычно вначале используется признак Даламбера, а затем те значения , для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда, исследуют особо, посредством других признаков сходимости рядов.

Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов

Если степенной ряд сходится на интервале и его суммой является функция , то ряд, полученный от его почленного дифференцирования, имеет тот же интервал сходимости и сумму, равную , т.е. равную производной от суммы ряда.

Отметим, что поведение этих двух рядов на концах интервала сходимости может быть различным.

Если степенной ряд сходится на интервале и его суммой является функция , то ряд, полученный от его почленного его интегрирования, имеет тот же интервал сходимости, а его сумма есть та из первообразных функций для , которая равна 0 при .

Действия со степенными рядами. Применение рядов к приближенным вычислениям

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать (по правилу умножения многочленов). При этом интервалом сходимости полученного нового степенного ряда будет совокупность всех точек, в которых одновременно сходятся оба ряда.

Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно интегрировать, а внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать

Разложение функций в ряд Тейлора

Рядом Тейлора для функции в окрестности точки называется степенной ряд относительно двучлена вида

При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций.

,

,

,

,

,