Задача #29

Цена

Условие

В результате ссоры назначена дуэль на период между 5 и 6 часами утра. Каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени 5 и 6 утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти пять минут дуэль состоится. Найти вероятность того, что дуэль состоится.

Решение

Обозначим момент прибытия первого дуэлянта как , а второго через . В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства: , .

Введем в рассмотрение систему координат, такую что начало координат проходит, через точку с координатами . Тогда в этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату с координатами вершин , , , . Площадь этого квадрата 1 и его можно рассматривать как фигуру координат точек которой представляют все возможные значения моментов прихода дуэлянтов.

Дуэль состоится, если , при (то есть второй дуэлянт пришел раньше и он ждет первого 5 мин, что составляет часа) или при .

. Первое неравенство выполняется для координат точек фигуры , которые лежат выше прямой и ниже прямой ; неравенство имеет место для точек, расположенных ниже прямой и выше прямой .

Как видно из приведенного рисунка все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствами принадлежат шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру , координаты точек которой являются благоприятствующими дуэли.

Исходя из геометрического определения вероятности .

Площадь шестиугольника мы вычисляли как разность площади квадрата и площади 2 прямоугольных треугольников со стороной .

Ответ: вероятность того, что дуэль состоится .