Предел функции не зависит от того, определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение.

а) Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, так как предел элементарной функции при , стремящемся к значению , которое входит в область ее определения, равен частному значению функции при , т.е. .

.

б) если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.

В простейших случаях основываясь на свойствах пределов можно получить следующие часто встречающиеся пределы:

Везде постоянная

Более сложные случаи нахождения предела функции называются неопределенностями и в каждом случае требуется дополнительное исследование.

Случай

Делается преобразование, чтобы сократить дробь на множитель, стремящийся к нулю для этого или используют формулы разложения квадратного трехчлена или делят каждый из многочленов на множитель (тут предполагается, что ) или уничтожается иррациональность или применяются замечательные пределы а также можно использовать другие равносильные преобразования.

Пример

тут использовали первый замечательный предел .

Случай

Решается делением числителя и знаменатели на наивысшую степень переменной

пример

Случай

В этом случае используют второй замечательный предел или в другой форме

Пример

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций