Задача #53

Цена

Условие

Заданы координаты вершин .

Найти

а) проекцию вектора на прямую

б) скалярное и векторное произведения векторов

в) уравнение прямой

г) величину угла , найдем косинус угла между векторами

д) расстояние от точки до прямой

е) уравнение высоты, опущенной из вершины на сторону

и) уравнение прямой, которая проходит через точку параллельно стороне

Решение

а) проекцию вектора на прямую

Так как проекцией вектора на ось называют число, равное длине вектора , которая взята со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком минус в противном случае.

Найдем координаты вектора как разность между соответствующих координат конца и начала .

Аналогичным образом находим

Для нахождения модуля вектора используется формуле

, аналогично

Косинус угла между векторами находится по формуле .

Искомая проекция равна

б) скалярное и векторное произведения векторов

,

Скалярное произведение

Векторное произведение

в) уравнение прямой

используем уравнение прямой по точке и направляющему вектору

г) величину угла , найдем косинус угла между векторами

, значит

д) расстояние от точки до прямой

Найдем каноническое уравнения прямой воспользовавшись формулой по точке и направляющему вектору.

Используем формулу расстояния от точки до прямой

е) уравнение высоты, опущенной из вершины на сторону

Для искомой высоты вектор является вектором нормали. Используем уравнение прямой по точке и вектору нормали .

;

и) уравнение прямой, которая проходит через точку параллельно стороне

Значит, для этой прямой вектор является направляющим

.