Вычислить объем тела , переходя к цилиндрическим или сферическим системам координат.

.

Вычислить следующий тройной интеграл:

, где .

Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл:

,

Вычислить двойной интеграл

, где

Найти массу тела плотностью , которое заданно поверхностями .

Вычислить двойной интеграл с использование соответствующей замены

,

Вычислить двойной интеграл по области .

, где

Переход к повторным

Если область ограничена кривыми , причем всюду на отрезке функции непрерывны и , тогда , причем сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной ( – параметр), а полученный результат интегрируется по .

Если область ограничена кривыми , причем всюду на , тогда переход к повторному интегралу осуществляется по формуле.

.

Полярные координаты

Формула перехода к полярным координатам имеет вид

Если область двумя полупрямыми и линиями определяемыми уравнениями , то двойной интеграл, распространенный на эту область вычисляется по формуле

Тройные интегралы

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интегралов или к вычислению трех однократных интегралов.

Если область интегрирования ограничена снизу поверхностью , сверху поверхностью и боков прямым цилиндром, сечением которого плоскостью параллельной плоскости , является область , то тройной интеграл вычисляется по формуле: , далее записывают двойной интеграл через один из повторных.