Найти три первых (отличных от нуля) членов разложения в степенной ряд интеграла дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанному начальному условию

; .

Определить интервал сходимости степенного ряда или исследовать сходимость ряда .

Определить интервал сходимости степенного ряда или исследовать сходимость ряда

Исследовать на сходимость числовой ряд .

Исследовать на сходимость числовой ряд

Исследовать на сходимость числовой ряд

Исследовать на сходимость

Ряд , члены которого являются функциями от переменной , называется функциональным.

При различных значениях из функционального ряда получаются различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.

Совокупность значений , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее употребительными являются степенные ряды вида или более общего вида .

Областью сходимости всякого степенного ряда является одни интервал числовой оси, симметричный относительно точки для первого ряда или для более общего вида, который может быть закрытым, открытым или полуоткрытым.

Для определения области сходимости функциональных рядов обычно вначале используется признак Даламбера, а затем те значения , для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда, исследуют особо, посредством других признаков сходимости рядов.

Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов

Если степенной ряд сходится на интервале и его суммой является функция , то ряд, полученный от его почленного дифференцирования, имеет тот же интервал сходимости и сумму, равную , т.е. равную производной от суммы ряда.

Отметим, что поведение этих двух рядов на концах интервала сходимости может быть различным.

Если степенной ряд сходится на интервале и его суммой является функция , то ряд, полученный от его почленного его интегрирования, имеет тот же интервал сходимости, а его сумма есть та из первообразных функций для , которая равна 0 при .

Действия со степенными рядами. Применение рядов к приближенным вычислениям

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать (по правилу умножения многочленов). При этом интервалом сходимости полученного нового степенного ряда будет совокупность всех точек, в которых одновременно сходятся оба ряда.

Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно интегрировать, а внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать

Разложение функций в ряд Тейлора

Рядом Тейлора для функции в окрестности точки называется степенной ряд относительно двучлена вида

При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций.

,

,

,

,

,

Числовые ряды сходящиеся и расходящиеся.

Определение. Числовым рядом называется выражение , где числа , называемые членами ряда, образуют известную числовую последовательность.

Сокращенно ряд обозначают .

Член , номер которого не фиксирован, называется общим членом ряда.

Сумма первых членов ряда называется частичной суммой.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда , то ряд называется сходящимся, а число – суммой ряда.

Если же или при неограниченном возрастании числа слагаемых частичная сумма не стремится ни к какому пределу, то ряд называется расходящимся..

Необходимый признак сходимости ряда.

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, когда неограниченно возрастает, т.е. .

Подчеркнем, что этот признак не является достаточным, т.е. из стремления к нулю общего члена нельзя еще сделать заключение, что ряд сходится. Но если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

Основные свойства рядов.

Если все члены сходящегося (расходящегося) ряда умножить на одно и то же не нулевое число , то полученный ряд будет сходящимся (расходящимся).

Если сходятся ряды и , то будут сходится и ряд, полученный от почленного сложения или вычитания соответствующих членов этих рядов, т.е. будет сходится ряд .

Если к сходящемуся ряду приписать к началу или отбросить от его начала конечное число членов, то полученный от этого ряд будет сходится.

Геометрический ряд

Ряд , в котором каждый член образуется из предыдущего умножением на одно и то же число, называется геометрическим. Геометрический ряд сходится, если и его сумма . Если , то геометрический ряд расходится.

Теорема сравнения.

Если ряд с положительными членами сравнить с другим рядом с положительными членами сходимость или расходимость которого известна, и если начиная с некоторого номера :

1) , то из сходимости ряда , следует сходимость ряда .

2) , то из того что ряд расходится, следует, что ряд расходится.

На практике более эффективным оказывается следующий

Предельный признак сравнения. Два ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся, если отношение при стремится к конечному и отличному от нуля пределу.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.

Признак Даламбера

Если члены ряда положительны и , то при ряд будет сходится, а при расходиться.

Отметим, что если , то сделать заключение о сходимости или расходимости ряда нельзя. В этом случае требуется дополнительное исследование.

Признак Коши

Если члены ряда положительны и , то при ряд будет сходится, а при расходиться.

При требуется дополнительное исследование.

Интегральный признак Коши

Пусть функция положительна и монотонна при , и пусть для всех имеет место равенство . Тогда числовой ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .

Абсолютная и неабсолютная сходимость

Ряд составленный из положительных и отрицательных членов, называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Знакочередующиеся ряды

Определение. Ряд называется знакочередующимся (или знакопеременным), если его два любых соседних члена имеют противоположные знаки.

Исследование сходимости знакочередующихся рядов проводится на основании теоремы Лейбница.

Теорема Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если: 1) его члены убывают по абсолютной величине и 2) его абсолютная величина общего члена стремится к нулю, когда , т.е. .

погрешность при вычислении суммы знакочередующегося ряда

Для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям, признака Лейбница, ошибка приближенного равенства (т.е. остаток ряда ) будет по абсолютной величине меньше первого отброшенного члена , причем остаток этого ряда имеет знак своего первого члена .