Переход к повторным

Если область ограничена кривыми , причем всюду на отрезке функции непрерывны и , тогда , причем сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной ( – параметр), а полученный результат интегрируется по .

Если область ограничена кривыми , причем всюду на , тогда переход к повторному интегралу осуществляется по формуле.

.

Полярные координаты

Формула перехода к полярным координатам имеет вид

Если область двумя полупрямыми и линиями определяемыми уравнениями , то двойной интеграл, распространенный на эту область вычисляется по формуле

Тройные интегралы

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интегралов или к вычислению трех однократных интегралов.

Если область интегрирования ограничена снизу поверхностью , сверху поверхностью и боков прямым цилиндром, сечением которого плоскостью параллельной плоскости , является область , то тройной интеграл вычисляется по формуле: , далее записывают двойной интеграл через один из повторных.

Найти площадь фигуры ограниченной линиями.

Найти размеры конической воронки, имеющей заданную образующую и наибольший объем.

Найти общее решение (общий интеграл) или решить задачу Коши для заданного дифференциального уравнения, установив доказательно тип уравнений

Найти общее решение (общий интеграл) или решить задачу Коши для заданного дифференциального уравнения, установив доказательно тип уравнений

,

Даны уравнения двух сторон квадрата и . Найти площадь этого квадрата.

Найти частное решение дифференциального уравнения

при

Найти неопределенный интеграл и проверить дифференцированием

Вычислить приближенной значение прироста функции при изменении аргумента от -2 до 2,00002.

Найти для заданной функции:

а) интервалы возрастания, убывания, экстремумы:

б) интервалы вогнутости, выпуклости и точки перегиба;

в) построить график функции.