В партии из 1000 изделий содержится 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий взятых наудачу из этой партии, 9 изделий окажутся дефектными.

Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающие прибора. Вероятность того, что при аварии сработает первый прибор, равна – 0,9; второй – 0,95; третий – 0,85.

Найти вероятность того, что при аварии сработает:

А) только один прибор;

Б) только два прибора;

В) все три прибора.

Вероятность того, что событие произойдет, одинакова и не зависит от других испытаний и равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.

Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность попасть в цель у первого стрелка равна 0,9; у второго – 0,8; у третьего – 0,7. Найти вероятность того, что: а) все стрелки попадут в цель; б) только один стрелок попадет в цель; в) хотя бы один стрелок попадет в цель.

С помощью статистических данных подсчитано, что вероятность заболеть гриппом во время эпидемии для каждого лица равняется 0,1. Какая вероятность, которая из 100 проверенных лиц больными окажутся: а) ровно 20 лиц; б) от 20 до 50 лиц?

Три стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность попадания для каждого из них соответственно равняют 0,7; 0,8 и 0,9. После залпа в мишени выявили 2 попадания. Найти вероятность того, что в мишень попал первый и третий стрельцы.

Одновременно подбрасывают два игральных кубика. Найти вероятность того, что на верхних гранях выпадут следующие числа очков:

а) сумма, которых нечетная;

б) сумма, которых меньше шести;

в) сумма которых больше, чем их произведение

Имеется 5 различных ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробованных ключей при открывании замка, если испробованный ключ в последующих попытках открыть замок не используется. Вычислить математическое ожидание и дисперсию, а также построить функцию распределения.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестное заранее.

Например, если подбрасывается игральная кость, то число выпавших очков – случайная величина, которая может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с одной и той же вероятностью, равной 1/6.

Или время ожидания автобуса на остановке – тоже случайная величина, которая может принимать любое значение от 0 до Т, где Т – интервал движения автобусов данного маршрута.

Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные. Случайную величину называют дискретной или точечной, если всевозможные ее значения образуют конечную или бесконечную числовую последовательность.

Случайную величину называют непрерывной, если всевозможные ее занесения образуют конечный или бесконечный интервал.

Случайная величина, приведенная в первом примере (число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика) является дискретной случайной величиной. Время ожидания автобуса – непрерывная величина.

Закон распределения дискретной случайной величины

Если известны вероятность появления каждого значения дискретной случайной величины, то соответствие между возможными значениями и их вероятностями называется закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Функция распределения

Для непрерывной случайной величины Х вместо вероятности равенства Х=х используют вероятность Р(Х<х). F(x)=P(X<x)

F-функция распределения случайной величины х

F(x) -интегральный закон распределения или интегральная функция распределения.

F(x) -самая универсальная характеристика случайной величины, она существует для всех случайных величин как дискретных так и непрерывных.

Основные свойства функции распределения.

Функция распределения F(x) есть не убывающая функция своего аргумента, т.е. при x2>x1 F(x2)>=F(x1)

При функция распределения F(x)=0; F()=0

При F(x)=1; F()=1

Для дискретной случайной величины:

Функция распределения любой дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которых происходят в точках соответствующих возможных значений случайных величин и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков равна 1. F(x) непрерывной случайной величины

Три стрелка произвели по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5; вторым - 0,4; третьим – 0.7. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Вычислить математическое ожидание и дисперсию, а также построить функцию распределения.