Имеется 5 различных ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробованных ключей при открывании замка, если испробованный ключ в последующих попытках открыть замок не используется. Вычислить математическое ожидание и дисперсию, а также построить функцию распределения.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестное заранее.

Например, если подбрасывается игральная кость, то число выпавших очков – случайная величина, которая может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с одной и той же вероятностью, равной 1/6.

Или время ожидания автобуса на остановке – тоже случайная величина, которая может принимать любое значение от 0 до Т, где Т – интервал движения автобусов данного маршрута.

Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные. Случайную величину называют дискретной или точечной, если всевозможные ее значения образуют конечную или бесконечную числовую последовательность.

Случайную величину называют непрерывной, если всевозможные ее занесения образуют конечный или бесконечный интервал.

Случайная величина, приведенная в первом примере (число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика) является дискретной случайной величиной. Время ожидания автобуса – непрерывная величина.

Закон распределения дискретной случайной величины

Если известны вероятность появления каждого значения дискретной случайной величины, то соответствие между возможными значениями и их вероятностями называется закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Функция распределения

Для непрерывной случайной величины Х вместо вероятности равенства Х=х используют вероятность Р(Х<х). F(x)=P(X<x)

F-функция распределения случайной величины х

F(x) -интегральный закон распределения или интегральная функция распределения.

F(x) -самая универсальная характеристика случайной величины, она существует для всех случайных величин как дискретных так и непрерывных.

Основные свойства функции распределения.

Функция распределения F(x) есть не убывающая функция своего аргумента, т.е. при x2>x1 F(x2)>=F(x1)

При функция распределения F(x)=0; F()=0

При F(x)=1; F()=1

Для дискретной случайной величины:

Функция распределения любой дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которых происходят в точках соответствующих возможных значений случайных величин и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков равна 1. F(x) непрерывной случайной величины

Три стрелка произвели по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5; вторым - 0,4; третьим – 0.7. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Вычислить математическое ожидание и дисперсию, а также построить функцию распределения.

Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньше 0,04; б) больше 0,05.

Станок – автомат изготавливает детали, длина которых по стандарту должна отклоняться от 125 мм. не более, чем на 0,5 мм. Среди продукции станка 7% нестандартной. Считая, что длина деталей имеет нормальный закон распределения, найти среднее квадратическое отклонение.

Случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением мм. Найти длину интервала, в который с вероятностью 0,9973 попадет X в результате испытания.

Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием а= 10 и средним квадратическим отклонением . Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет X в результате испытания.

Случайная величина X задана дифференциальной функцией в интервале (0; 5); вне этого интервала . Найти дисперсию X.

Случайная величина X задана дифференциальной функцией (распределение Лапласа) Найти математическое ожидание величины X.

Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины X:

Найти интегральную функцию .